Galois-Gruppe

Galois-Gruppe

 

[ga'lwa-; nach É. Galois], Algebra: die Gruppe der Automorphismen eines durch galoissche Körpererweiterung aus dem Körper K hervorgegangenen Körpers L, die den Körper K elementweise fest lassen; ihre Ordnung ist gleich dem Grad von L. - Ist K [x] der Polynomring über dem Körper K und f(x) ∈ K [x] ein Polynom mit lauter einfachen Nullstellen α₁, α₂,.. ., α_n, so entsprechen den Automorphismen des Zerfällungskörpers K (α₁, α₂,.. ., α_n) von f eindeutig Permutationen der Nullstellen von f(x). Die Galois-Gruppe von K(α₁, α₂,.. ., α_n) nach K ist deshalb isomorph zu einer Gruppe von Permutationen der Nullstellen von f(x). Diese Permutationsgruppe heißt Galois-Gruppe des Polynoms f(x) über K (oder der algebraischen Gleichung f(x) = 0).